ใน 24 ชั่วโมง เข็มตัดกันกี่รอบ

โจทย์

นาฬิกาอันนึงมีเข็มอยู่ 2 เข็ม เข็มแรกหมุนครบรอบทุก 45 นาที อีกเข็มนึงหมุนครบรอบทุก 72 นาที ถามว่าทุกๆ 24 ชั่วโมงจะมีการตัดกันของทั้งสองเข็มกี่ครั้ง?

*หมายเหตุ: ข้อนี้ไม่ใช่เข็มสั้นเข็มยาวแบบนาฬิกาทั่วไป

เฉลย

หนึ่งในวิธีที่ทำได้คือดูว่าเข็มได้ละเข็มหมุนได้กี่องศาต่อ 1 นาที

เข็มแรกรอบนึงใช้เวลา 45 นาที แปลว่าหมุนได้ $\frac{360}{45}=8$ องศาต่อนาที

เข็มที่สองหนึ่งรอบใช้เวลา 72 นาที แปลว่าหมุน $\frac{360}{72}=5$ องศาต่อนาที

ตอนที่เข็มตัดกันคือเมื่อเข็มทั้งสองอันมาอยู่ที่องศาเดียวกัน จะได้ว่าสามารถสร้างสมการได้ดังนี้

โดยที่เราก็ต้องหา $x$ ทุกตัวที่เข้าเงื่อนไขข้างต้น และน้อยกว่า 1440 (จำนวนนาทีใน 24 ชั่วโมง) แต่จะคำนวณจากสมการนี้เลยมันก็ยาก และถ้าจะใส่หาตรงๆก็เหนื่อย

วิธีใหม่: มองด้วยวิธีดูผลต่างแทน

เราได้ว่าใน 1 นาที เข็มนึงเลื่อนไป 8 องศา ในขณะที่อีกเข็มเลื่อนแค่ 5 ก็จะได้ว่าผลต่างของทั้งสองเข็มจะห่างกันมากขึ้น 3 องศาต่อนาที ซึ่งถ้าผ่านไปนาน เข็มก็ยิ่งห่างกันไปเรื่อยๆ

ถ้าลองดูต่อไปเรื่อยจนผลต่างถึง 360 องศา ก็จะตัดกัน 1 ครั้ง

ตอนนี้ก็คำนวณได้ไม่ยากละว่า ต้องใช้เวลาเท่าไหร่ในการให้ตัดกัน 1 ครั้ง เพราะมันคำนวณได้จาก $\frac{360}{\Delta}$ เป็นจำนวนนาทีที่จะตัดกัน 1 ครั้งเมื่อ $\Delta$ คือองศาผลต่างของทั้งสองเข็ม

ทีนี้เราก็สามารถมาหาว่าใน 24 ชั่วโมง มันจะตัดกันกี่รอบได้ละ เพราะใน 24 ชั่วโมงมี 1440 นาที

ก็เลยได้ว่า

จำนวนครั้งที่เข็มตัดกัน $= \lfloor\frac{(8-5)(1440)}{360}\rfloor = 12$ รอบ

หรืออีกแบบที่คนชอบมาพูดกันว่าใน 24 ชั่วโมง เข็ม 45 นาทีหมุนครบรอบ 32 ครั้ง กับ เข็ม 72 นาทีหมุนครบรอบ 20 ครั้ง ก็เลยได้ว่ามันจะตัดกันทั้งหมด 32-20 = 12 ครั้ง ก็ได้เหมือนกัน

ส่วนสาเหตุที่มันได้ก็เพราะว่า

เลขคุ้นๆนะ… แต่ก็ระวังด้วยเพราะจริงๆมันติดปัดเศษลงนะ — ชาวอัลกอ