ความยาวรอบรูปของวงกลมกับสี่เหลี่ยม

โจทย์

ให้จุด E แทนจุดกึ่งกลางของเส้น AD ของจัตุรัส ABCD และมีจุด B, C, และ E อยู่บนเส้นรอบรูปวงกลม แล้วเส้นรอบรูปของรูปไหนมีความยาวมากกว่ากัน?

ตอบ วงกลม/สี่เหลี่ยม?

เฉลย

วิธีที่ 1: Pythagoras theorem

เราจะสร้างจุดเพิ่มขึ้นอีก 2 จุดคือ

• จุด F ให้อยู่กึ่งกลางระหว่างจุด B, C
• จุด G ให้อยู่ตรงจุดศูนย์กลางของวงกลม จะได้ว่าเส้น GB มีความยาว $r$ และเป็นรัศมีของวงกลม

สมมติให้แต่ละด้านของสี่เหลี่ยมมีความยาว $x$ จะได้ว่า

• ความยาวเส้น EF เท่ากับเส้น AB ดังนั้นเส้น GF จะมีความยาว $x-r$
• ความยาวเส้น AE เท่ากับเส้น BF ซึ่งมีความยาว $\frac{x}{2}$

เราจะได้ว่า △BFG เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งทำให้หาความยาว $r$ ได้ผ่าน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทีนี้พอได้ค่า $r$ มาแล้วก็จะหาความยาวเส้นรอบรูปมาเทียบกันได้

• เส้นรอบรูปวงกลม: $(2)(\frac{5x}{8})\pi=\frac{5x\pi}{4}\approx3.92x$
• เส้นรอบรูปจัตุรัส: $4x$

จะได้ว่าเส้นรอบรูปจัตุรัสยาวกว่าเส้นรอบรูปวงกลม

วิธีที่ 2: สามเหลี่ยมคล้าย

เราจะสร้างจุดเพิ่มขึ้นอีก 2 จุดคือ

• จุด F ให้เป็นจุดแบ่งครึ่งเส้น BC
• จุด H เป็นจุดที่เกิดจากการลากเส้น EF ไปตัดกับวงกลมอีกด้าน

สังเกตว่าเราจะได้สามเหลี่ยมมาเพิ่มอีกสองอัน △BEF และ △BFH

และด้วยสมบัติวงกลมเราเลยรู้ว่ามุม EBH เป็นมุมฉาก ดังนั้น △BEF และ △BFH เลยเป็นสามเหลี่ยมคล้าย จะพลิก △BFH ดูก็ได้

แล้วถ้าสมมติให้ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมเป็น $x$ ก็จะได้ว่า EF ยาว $x$ และ BF ยาว $\frac{x}{2}$ เพราะยาวแค่ครึ่งหนึ่งของด้านสี่เหลี่ยม

จากสามเหลี่ยมคล้ายเราจะได้ว่า

และนำมาคำนวณต่อได้ว่า

ก็จะได้ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม

ดังนั้นรัศมีวงกลมจะเป็น $\frac{5x}{8}$

ซึ่งก็ได้คำตอบว่าสี่เหลี่ยมมีเส้นรอบรูปยาวกว่าวงกลม

ที่มาโจทย์

math.stackexchange.com/